Curbură Gaussiană si curbură Riemanniană de Liviu Ornea

Oricine poate spune dacă un obiect e plan sau rotund, dacă o linie e dreaptă sau curbă. E de ajuns o singură privire. Dar dacă nu le-am putea privi? Le-am pipăi, probabil. Sigur, în caz că obiectele respective sînt foarte mari, am putea avea unele dificultăţi, dar am putea uşor imagina metode ca să le depăşim.

Liviu Ornea

Liviu Ornea

Dar dacă nu le-am putea nici privi, nici pipăi? Cu alte cuvinte, dacă nu ne-am putea plasa undeva în afara lor, dacă am face parte din chiar obiectele a căror formă vrem să o desluşim? Cum să determinăm forma unui obiect atunci cînd simţurile nu ne pot ajuta? Cum să ghicim forma universului?

Primul care a înţeles – cel puţin, primul care a scris-o explicit – că forma (curbura) este o proprietate intrinsecă a fost Karl Friedrich Gauss, Consilierul Aulic de la Götingen. Nu numai că a înţeles acest lucru, dar şi-a dat seama de importanţa covîrşitoare a rezultatului: l-a numit „Teorema egregium” (e singurul enunţ dintr-un memoriu dens, de circa treizeci de pagini, caruia i-a acordat acest  titlu) şi i-a dat mai multe demonstraţii.

Dar care e definiţia formală a curburii? Sînt posibile mai multe definiţii, toate echivalente. Cea cu care lucra Gauss, numită acum gaussiană, e foarte naturală. Să ne imaginăm o porţiune mică de suprafaţă. În fiecare punct al ei ridicăm un segment perpendicular pe planul tangent în acel punct, de lungime 1, avînd grijă să păstrăm aceeaşi orientare pentru toate segmentele. Translatăm apoi toate aceste segmente în centrul unei sfere fixe de rază 1. Capetele lor mătură o porţiune din suprafaţa sferei. Măsurăm aria aceasta (prin integrare, pentru că vom avea de-a face cu o porţiune de formă neregulată) și o raportăm la aria porțiunii de pe suprafață. Valoarea rezultată va fi curbura totală a porţiunii iniţiale de suprafaţă. E, intuitiv, clar că o suprafaţă va fi cu atît mai curbată cu cît vectorii normali translataţi acoperă o suprafaţă mai întinsă pe sferă; altfel spus, cu cît vectorii normali în puncte apropiate împung în direcții mai diferite.  Cu această definiție,  Gauss a calculat curbura totală a unui triunghi ale cărui laturi sînt linii geodezice (liniile cele mai scurte între orice două puncte ale lor – pe sferă, de exemplu, sînt  arcel de meridian) şi a obţinut o valoare egală cu excesul sumei unghiurilor triunghiurilor faţă de 180 de grade. În particular, o suprafaţă este curbată pozitiv (respectiv negativ) dacă şi numai dacă suma unghiurilor triunghiurilor geodezice este strict mai mare (respectiv mai mică) decît suma unghiurilor unui triunghi plan. Astfel, geometria neeuclidiană hiperbolică, fondată de Lobacevski şi Bolyai, se poate modela pe o suprafaţă cu curbură constantă negativă, de exemplu pe o pseudosferă de forma unei trompete.

Ce ne spune, de fapt, rezultatul lui Gauss? Deoarece unghiurile unui triunghi se pot determina dacă i se cunosc lungimile laturilor, pentru a cunoaşte curbura e suficient să ştim măsura lungimi pe suprafaţă. Cum Gauss lucra doar cu suprafeţe scufundate în spaţiul ambiant (euclidian), calculul  lungimii din spaţiul cu 3 dimensiuni era automat indus pe suprafaţă, modalitatea de măsurare şi, în consecinţă, curbura fiind intrinsece suprafeţei. Practic, Gauss spunea că nişte fiinţe imaginare doi-dimensionale care ar trăi într-o (nu pe o) suprafaţă, fără a putea percepe lumea exterioară,  ar putea totuși determina curbura lumii lor prin simple măsurători de lungimi. De altfel, el şi-a aplicat rezultatul, calculînd cu mare acurateţe pentru vremea aceea (memoriul lui Gauss a apărut, în latină, în 1827) curbura Pămîntului.

Pasul următor l-a făcut Bernhardt Riemann în 1854, în lecţia ţinută la Götingen cu prilejul abilitării. Tema lecţiei fusese propusă de Gauss: Asupra ipotezelor care stau la baza geometriei. Riemann lucrează pe varietăţi (pe care tot el le-a definit), anume spaţii cu n dimensiuni care seamănă local cu un spaţiu euclidian cu tot atîtea dimensiuni. De exemplu, o varietate doi-dimensională este o suprafaţă. Defineşte apoi curbura unei varietăţi (azi îi spunem curbură riemanniană) în direcţiile ei de suprafaţă (curbura spaţiului e nulă pentru că toate secţiunile plane au curbură gaussiană nulă), extinzînd, practic, definiţia lui Gauss şi arată că pentru a o calcula e suficient să ştim cum să măsurăm lungimi pe varietate. Dar, spre deosebire de Gauss, el nu mai presupune că varietăţile ar fi scufundate într-un spaţiu ambiant. În consecință, curbura riemanniană este, prin definiție, o noțiune intrinsecă. Pe de altă parte, nici modalitatea de măsurare nu mai e prescrisă, și ea devine tot intrinsecă: trebuie aleasă, postulată (1). În cazul spaţiului cu trei dimensiuni, cel puţin la scară mică, ţinînd seama de observaţiile fizice, reţeta de măsurare este cea euclidiană şi curbura rezultă nulă. Dar nimeni nu ne împiedică să imaginăm alte spaţii, neeuclidiene, în care să postulăm alt mod de calcul al lungimii. Mai mult, chiar şi pe o aceeaşi varietate putem să considerăm moduri diferite de măsurare care vor duce la curburi diferite. De exemplu, pe un disc din planul euclidian putem măsura lungimea cu o metrică hiperbolică, folosind biraportul, așa cum ne-a învățat Poincaré; curbura acelui disc va rezulta negativă, egală cu -1. Iată deci că forma nu mai corespunde intim obiectului, ci felului în care măsurăm lungimile pe acel obiect.

De la Einstein şi Minkowski încoace, universul nostru era imaginat ca o varietate cu 4 dimensiuni (spaţiu-timpul). Dar există teorii noi – a (super)corzilor, teorii M – care utilizează varietăţi cu mai multe dimensiuni – zece, unsprezece… Pentru a cunoaşte curbura universului ar trebui să ştim să măsurăm lungimi. Nici o problemă la scară umană. Dar la scară infinitezimală sau cosmică? Ceea ce fac acum matematicienii şi fizicienii este să încerce ca, din observaţiile făcute (în mod fatal limitate), din extrapolarea lor, să ghicească numărul de dimensiuni şi modalitatea bună de măsurare. Să dea modele de univers, adică să găsească acele obiecte matematice potrivite descrierii lui.  Mai trebuie să spun că nici un model propus pînă acum nu e considerat pe deplin satisfăcător?

__________________________

(1)  A afirma, la 1854, că spaţiul nu este o noţiune a priori era un mare curaj. Din corespondenţa lui Gauss cu Bessel se poate deduce că şi el ajunsese la concluziile lui Riemann, dar că s-a ferit să le publice de teama scandalului, a „strigătelor beoţienilor”. O foarte frumoasă punere în pagină a discuţiilor mai mult decît aprinse în legătură cu posibilitatea existenţei geometriilor neeuclidiene se găseşte în cartea lui Toth Imre, Palimpsest.

Liviu Ornea

Liviu Ornea

Liviu Ornea s-a născut la Bucureşti, la 14 iulie 1960. Este Profesor Doctor în Matematică, la Universitatea din Bucureşti, autorul a numeroase studii şi articole de specialitate.  A susţinut conferinţe şi a participat la simpozioane internaţionale în numeroase ţări (Roma – La Sapienza (1991, 1994, 1998, 2000, 2002, 2003, 2006), Bruxelles – U.L.B. (1993, 1997, 2002), Leuven (1993, 2002), Lecce (1994), Potenza (1994, 1997, 1998, 2002, 2006), Palermo (1994), Debrecen (1996), Cagliari (1997, 1999, 2000), Mulhouse, Nice, Angers, Bonn (1998), Paris 7 (1998, 2003), Ochanomizu (Tokio) (1999), ICTP Trieste (1999), ESI Vienna (1999, 2003), Tokyo Metropolitan (1999, 2000, 2001, 2009), EPFL (2001), Brest (2003), New Mexico – Albuquerque, California – Riverside (2003, 2004), Ecole Polytechnique – Paris (2003, 2004), Nancy (2003, 2004), Minnesota – Minneapolis (2005), Miami (2005), Pescara (2006, 2008), Glasgow (2007), Edinburgh (2007), Waterloo (2007), Universite de Quebec a Montreal (2007), Steklov Inst. (2007, 2009), Firenze (2008), Parma (2008), Lille (2008),etc.

In paralel, a publicat articole culturale, în special recenzii de teatru, în reviste culturale româneşti: Scena, Teatrul Azi, Dilema, Dilema veche, Observator cultural, Okean, Cuvintul, traduceri din limba franceză : Mitul arian (Le mythe arien) şi  Breviarul urii (Le bréviaire de la haine), ambele de  Leon Polyakov, EST Publishing House, 2003, 2004; Ura de sine (La haine de soi), J.-C. Attias and E. Benbassa eds., EST Publishing House, 2005.)

In 2008, a publicat volumul de eseistică „Varietăţi conexe” (Ed. Curtea Veche, Bucureşti)

 

Anunțuri